Mitsystem, Gegensystem, Nullsystem – Grundlagen der Fehlerberechnung in Drehstromnetzen.
a = e^(j120°) = -0,5 + j·0,866Komplexer Drehoperator für 120° Phasenverschiebung
Die Methode der symmetrischen Komponenten (nach C.L. Fortescue, 1918) ist ein fundamentales Werkzeug für die Berechnung unsymmetrischer Zustände in Drehstromnetzen – insbesondere für Kurzschlussberechnungen.
Jedes unsymmetrische Dreiphasensystem lässt sich in drei symmetrische Systeme zerlegen: Mitsystem, Gegensystem und Nullsystem.
Jedes unsymmetrische System kann zerlegt werden in:
a = e^(j·120°) = cos(120°) + j·sin(120°) = -0,5 + j·0,866
a² = e^(j·240°) = -0,5 - j·0,866
a³ = e^(j·360°) = 1
1 + a + a² = 0 (wichtige Identität!)
Klicken zum KopierenVon Phasengrößen zu symmetrischen Komponenten:
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│ U_0 │ 1 │ 1 1 1 │ │ U_a │
│ U_1 │ = ─ │ 1 a a²│ × │ U_b │
│ U_2 │ 3 │ 1 a² a │ │ U_c │
└ ┘ └ ┘ └ ┘
Klicken zum KopierenVon symmetrischen Komponenten zu Phasengrößen:
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│ U_a │ │ 1 1 1 │ │ U_0 │
│ U_b │ = │ 1 a² a │ × │ U_1 │
│ U_c │ │ 1 a a²│ │ U_2 │
└ ┘ └ ┘ └ ┘
Klicken zum Kopieren| Fehlerart | Systeme | Randbedingungen |
|---|---|---|
| 3-polig | Nur Mitsystem | I_2 = I_0 = 0 |
| 2-polig | Mit + Gegen | U_1 = U_2, I_0 = 0 |
| 2-polig mit Erde | Alle drei | Komplex, ortsspezifisch |
| 1-polig (Erdschluss) | Alle drei | I_1 = I_2 = I_0 |
3-poliger Kurzschluss:
────Z_1──── Nur Mitsystem-Impedanz
│
▼
I_k3p = U_1 / Z_1
1-poliger Erdschluss:
────Z_1────Z_2────Z_0──── Reihenschaltung
│
▼
I_k1p = 3 × U_1 / (Z_1 + Z_2 + Z_0)
Klicken zum Kopieren| Betriebsmittel | Z_1 | Z_2 | Z_0 |
|---|---|---|---|
| Generator | X_d | X_2 ≈ X_d" | X_0 (sehr klein) |
| Transformator | Z_T | Z_T | Z_T (bei Dy) oder ∞ (bei Yy ohne N) |
| Freileitung | Z_L | Z_L | 2-4 × Z_1 |
| Kabel | Z_K | Z_K | 3-5 × Z_1 |
Aufgabe
Die Phasenströme sind: I_a = 100 A, I_b = 50∠-90° A, I_c = 50∠90° A. Nullsystem-Strom?
Lösung
Nullsystem-Strom I_0 = 33,3 A → Erdfehler-Indikation.
Aufgabe
Z_1 = 0,5 Ω, Z_2 = 0,5 Ω, Z_0 = 1,5 Ω, U = 400 V. Einpoliger Kurzschlussstrom?
Lösung
I_k1 = 277 A (1-polig), I_k3 = 462 A (3-polig).
IEC 60909: Kurzschlussströme in Drehstromnetzen
DIN VDE 0102: Berechnung von Kurzschlussströmen
Wichtige Festlegungen:
Symmetrische Komponenten – Zusammenfassung:
Drei Systeme:
Kurzschlüsse:
| Typ | Systeme | I_k-Berechnung |
|---|---|---|
| 3-pol | Nur 1 | U_1/Z_1 |
| 1-pol | Alle | 3×U_1/(Z_1+Z_2+Z_0) |
Drehoperator: a = e^(j120°)
Die Methode erlaubt es, unsymmetrische Fehler (wie 1-polige Erdschlüsse) mit einfachen Ersatzschaltbildern zu berechnen. Ohne diese Zerlegung wäre die Berechnung wesentlich komplexer, da alle drei Phasen gekoppelt wären. Jedes symmetrische System kann unabhängig berechnet werden.
Ein Nullsystem tritt auf, wenn die Summe der drei Phasenströme nicht null ist – das bedeutet, es fließt ein Strom über Erde oder Neutralleiter zurück. Dies geschieht bei Erdschlüssen, unsymmetrischen Lasten mit Neutralleiter, oder bei 1-poligen Kurzschlüssen. Im symmetrischen Betrieb ist I_0 = 0.
Ein großes Z_0 begrenzt den Erdschlussstrom. Bei Transformatoren ohne Sternpunkterdung (z.B. Yy ohne N) ist Z_0 praktisch unendlich, und es kann kein nachhaltiger Erdschlussstrom fließen. Bei geerdeten Systemen (TN) ist Z_0 endlich und bestimmt die Höhe des 1-poligen Kurzschlussstroms.